Загадка семи мостов Кёнигсберга: как прогулка по городу изменила математику

Калининград. 30 сентября. NewsRoom24.ru - Задача о семи кёнигсбергских мостах — одно из самых известных математических расследований в истории. Оно доказало, что некоторые повседневные загадки могут породить совершенно новые научные дисциплины. В XVIII веке город Кёнигсберг (ныне Калининград) располагался на берегах реки Преголи и двух больших островах. Эти участки суши связывали между собой семь мостов: Лавочный, Зелёный, Рабочий, Кузнечный, Деревянный, Высокий и Медовый.

Среди горожан существовала популярная загадка-игра: можно ли во время пешей прогулки обойти все семь мостов ровно по одному разу, не проходя ни по одному дважды? Жители пытались найти такой маршрут на практике, но безуспешно.

Письмо бургомистра и ответ математика
В 1735 году бургомистр соседнего города Данцига Карл Готтлиб Элер написал письмо великому швейцарскому, немецкому и российскому математику Леонарду Эйлеру, попросив его рассудить эту дилемму. Сначала Эйлер отнёсся к вопросу скептически, посчитав его несерьёзным для математики, но затем увлёкся решением. В 1736 году он представил статью с доказательством в Петербургскую академию наук.

Справка: Леонард Эйлер (1707–1783) — математик, механик и физик. Работал в Петербургской академии наук. Автор более 800 научных трудов.

Гениальный метод абстракции
Математическая суть задачи заключалась в том, что стандартная геометрия с её метрикой и углами здесь была бесполезна — важна была только связность объектов.

Эйлер применил метод абстракции. Он заменил четыре обособленные части суши точками (вершинами). Сами мосты он представил линиями (рёбрами), которые эти точки соединяют. Получилась геометрическая схема, которую сегодня называют графом.

Эйлер вывел фундаментальное правило: чтобы граф можно было нарисовать одним росчерком (то есть пройти все рёбра без повторений и отрыва руки), количество вершин с нечётным числом выходящих линий должно быть равно нулю или двум. В таком случае они будут точками старта и финиша.

Почему маршрут невозможен
В Кёнигсберге к трём участкам суши вели по три моста, а к четвёртому — пять мостов. Все четыре вершины имели нечётную степень (3, 3, 3 и 5).

На основе этого Эйлер математически доказал: такой маршрут физически невозможен.

Цитата: «Эйлер показал, что вопрос о существовании маршрута не зависит от длины мостов или их расположения. Важна лишь схема связей между берегами и островами», — так описывают значение работы историки математики.

Легенда о Кайзере
Существует исторический анекдот, что в 1905 году немецкие учёные решили подшутить над прусским императором Вильгельмом II, предложив ему решить эту задачу. Кайзер не смог разгадать головоломку и, чтобы обойти ограничение, приказал построить восьмой мост — Императорский. Загадка была временно «решена» инженерным путём.

Война и современность
Во время бомбардировок Кёнигсберга в 1944 году и штурма города часть мостов была разрушена. Из оригинальных семи мостов до наших дней сохранились только три: Медовый, Деревянный и Высокий.

Из-за изменения структуры мостов в современном Калининграде эйлеров путь стал возможен: сейчас по ним можно пройти, не повторяя маршрут, начав и закончив прогулку на конкретных островах. На опорах разрушенного Императорского моста в 2005 году возвели пешеходный Юбилейный мост.

Как решают задачу сегодня
Современная формулировка задачи о семи мостах звучит так: существует ли цикл в графе, проходящий через каждое ребро ровно один раз?

Для ответа на этот вопрос строят граф, где:

Вершины — это участки суши (острова и берега).

Рёбра — это мосты, соединяющие эти участки.

Затем применяют теорему Эйлера: эйлеров цикл существует только если все вершины имеют чётную степень, а эйлеров путь — если ровно две вершины имеют нечётную степень.

Наследие: рождение теории графов и топологии
Доказательство Эйлера легло в основу теории графов и топологии («геометрии положения»). Сегодня эти дисциплины определяют работу интернет-маршрутизаторов, навигаторов, логистических цепочек и нейросетей.

Задача о семи мостах — пример того, как абстрактное мышление превращает бытовую головоломку в инструмент для решения практических задач, отмечают исследователи истории математики. История семи мостов показывает: даже праздная прогулка и городская легенда могут привести к открытию, которое меняет мир.

Ранее в новостях: Три научных музея Калининграда: космос, океан и живая физика.

Фото: Открытка Кенигсберга 19 века